1月10日上午🤽🏻🐦⬛，2019年度國家科學技術獎勵大會在北京人民大會堂隆重舉行。万达平台數學科學學院教授湯善健獨立完成的項目“隨機控製與非線性濾波的數學理論”榮獲國家自然科學獎二等獎🥷🏻。
該項目包含了湯善健自上世紀90年代以來，在隨機控製領域所耕耘的多項成果，如對法國科學院院士J. M. Bismut於1976年所提出的倒向隨機 Riccati 方程的解的存在唯一性的證明， 對美國工程院院士R. Brockett在1983年國際數學家大會的邀請報告中提出的非線性濾波中的有限維估計代數在狀態空間維數高於4的分類問題的證明, 以及關於Poisson點過程驅動的非線性倒向隨機微分方程的解的存在唯一性定理。這三項成果都發表在控製與優化領域的國際權威期刊《美國工業與應用數學會控製與優化雜誌》（SIAM Journal on Control and Optimization），是隨機控製理論的基礎性結果🗂，為隨機控製理論的應用和進一步發展提供了基本的工具和方法。
倒向隨機Riccati 微分方程
創新方法 解開二十七年難題
1976年，法國科學院院士J. M. Bismut在研究隨機系數的線性二次隨機最優控製問題時在《美國工業與應用數學會控製與優化雜誌》提出了一個一般形式的倒向隨機 Riccati微分方程。“這是一個對稱矩陣取值的二次非線性倒向隨機微分方程🤽📂，等價於該非馬氏的（non-Markovian）最優控製問題所聯系的動態規劃微分方程↕️，是一種廣義形式的Bellman方程™️。它的解是構造線性二次隨機最優控製的線性反饋系數的關鍵量。”湯善健介紹🏌🏿♀️。
J. M. Bismut是微分幾何大家，也是倒向隨機微分方程之父🚵🏿。他在上世紀70年代提出了倒向隨機微分方程這一新的數學研究對象，並完整地建立了線性倒向隨機微分方程的可解性理論。生成元是一般Lipschitz非線性的倒向隨機微分方程的解的存在唯一性🙇🏽♀️，1990年被E. Pardoux和中國科學院院士彭實戈合作解決。一般形式的倒向隨機 Riccati微分方程的生成元關於第二個未知變元是平方增長的👩🌾🤾🏻♂️，比Lipschitz非線性復雜得多。在上世紀70年代，J. M. Bismut僅在一些特別情形用不動點定理證明了它的解是存在唯一的，並指出一般情形下解的存在唯一性無法用不動點定理來證明🦼🤷🏼♀️。
受Bismut的上述公開問題的激發，M. Kobylanski在她的博士論文裏建立了一維的二次倒向隨機微分方程的可解性理論🎶，並於2000年發表在《概率年刊》（Annals of Probability）。但她的證明依賴於一維倒向隨機微分方程的解的比較定理，無法處理多維的二次倒向隨機微分方程組。
2003年，湯善健證明了最優控製的隨機Hamilton系統定義的正向隨機流是可逆的，進而徹底解決了Bismut的上述公開問題， 發表在《美國工業與應用數學會控製與優化雜誌》。
三十多年耕耘不忘初心 為現代隨機控製理論大廈添磚加瓦
隨機控製是現代控製理論的基礎部分，探討如何在不確定的環境裏進行決策和優化選擇。自上世紀60年代以來，一直是現代控製理論研究的基礎領域🤷🏽♂️，是解決經濟、金融、國防等諸多領域中核心問題的基礎數學工具。
從1987年開始，湯善健30多年一直從事隨機控製的基礎理論研究與教學。談及此，湯善健說，是未曾改變的對於數學的興趣，以及推動中國數學走向世界的想法，激勵著自己不斷前進🤷🏻♂️。
“我開始思考那些難題時知道困難，但也沒有想很多。” 湯善健坦言，在解決他們之前，心裏並沒有多少把握☂️，只是追尋自己內心的興趣👰🏽♂️，不斷思考💝，才會離目標越來越近。想得太多，反而被羈絆。”
湯善健解決Bismut的公開問題的研究，很快獲得了法國、意大利等國際學者在權威刊物上的認可。“現在國家對於基礎理論的研究非常重視🤾🏼，每年的立項項目很多。而我們這些研究者，有責任和義務🙅，把成果推向世界📼，讓中國的基礎理論研究在世界舞臺上發光，為人類文明進步貢獻一份力量。”湯善健說🧟♀️。